001 上一章注释[001]

【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了，我调整一下，过会儿再看】

硬核程度：☆☆☆☆☆

涉及领域：计算理论

大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

以下开始：

首先，什么是可计算？

可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

为了方便描述，先行约定一下数学符号。

假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

比如，输入(3，4)输出12

输入(6，2)输出12

输入(0，6)输出0

这时，我们把这些输入数对叫做domain，输出的一个数叫做codomain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

mult:Z^2→Z

中间的这个→表示这个mult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个domain里的输入，都能对应一个codomain里的输出。

与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：

div:Z^2—Z

这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

后继函数：succ:N→N，succ(x)=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.

零函数：zero:Nn→N，zero()=0。不管给它什么，它都输出0.

投影函数：projn:Nn→N，projin(x1，...，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22(1，3)=3。

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

f:Nn—N

具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x1，...，xm)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

f·[g1，...，gn]:Nm—N

展开为：

f·[g1，...，gn](x1，...，xm)=f(g1(x1，...，xm)，...，gn(x1，...，xm))

举个栗子：

我们构造一个函数one，one(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

one(x)=succ(0)=succ(zero(x))

即：succ·[zero]=one

验证一下：

succ·[zero](x)=succ(zero(x))=succ(0)=1

succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

也很简单，从具体输入入手：

add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

add(x，y+1)=succ(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add(x，0)=x=proj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=ρn(f，g):Nn+1—N

对于h:

基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

递归条件:h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add(x，y)=x+y=ρ1(f，g)

基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11

递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

add=ρ1(proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=ρ1(zero，add·[proj13，proj33])

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归ρ这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N(这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f(5，4，3，2，1，0)=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f(5，4，3，2，1，1)=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N(proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj21(1，0)=1

proj21(1，1)=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。

假设，我们收到两参数a和b，想求a/b，那么其中存在如下关系：

a=q×b+r，其中0≤r＜b

我们想要的就是满足式子q×b≤a的最大的q，这等同于满足(q+1)×b＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：

找到最小的q使其满足(q+1)×b＞a

也就是构造一个函数f:N^3—N

f(a，b，q)=1如果(q+1)b≤a，=0如果(q+1)b＞a

f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)

f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]

其中lessthanequal=iszero·sub

iszero=sub·[succ·zero，proj11]

sub是减法器

对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。

验证一下：

f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。

div(8，5)=8//5=1没错，十分完美。

如果我们想计算一下8//0:

f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8//0无解，符合现实。

如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

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